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150年前,莫比乌斯发现了奇怪的单面物体。这就是为什么他们这么酷。

莫比乌斯带(©co ... a/Shutterstock)

你在日常生活中很可能遇到过数百次单面物体,比如印在铝罐和塑料瓶背面的回收通用符号。

这个数学对象被称为莫比乌斯带。自从1858年德国数学家奥古斯特·莫比乌斯于1868年9月26日去世后,它就一直吸引着环境保护主义者、艺术家、工程师、数学家和其他许多人。1858年,当莫比乌斯在美国国立大学担任天文学和高等力学系主任时,

发现了单面条莱比锡。(另一位名叫Listing的数学家几个月前确实描述过,但直到1861年才发表他的研究成果。)在研究多面体的几何理论时,莫比乌斯似乎遇到了莫比乌斯带,多面体是由顶点组成的立体图形,边缘和平面。

一种莫比斯纸带可以通过取一张纸带,给它一个奇数个半捻,然后将两端粘在一起形成一个环。如果你拿起一支铅笔,沿着画条的中心画一条线,你会发现这条线显然是沿着环的两边走的。

这是一个单面物体的概念启发了像荷兰平面设计师M.C.Escher这样的艺术家,他的木刻作品《莫比乌斯地带II》显示了红蚂蚁沿着莫比乌斯地带一个接一个地爬行。

莫比乌斯地带有不止一个令人惊讶的特性。例如,试着拿一把剪刀,沿着你刚画的线把带子剪成两半。你可能会惊讶地发现,你留下的不是两个较小的单面莫比斯带,而是一个长长的双面环。如果你手头没有一张纸,埃舍尔的木刻作品《莫比乌斯带I》展示了当莫比乌斯带沿着其中心线切割时会发生什么。

虽然带确实具有视觉吸引力,但它最大的影响是在数学上,它有助于推动一个叫做拓扑学的整个领域的发展。

a拓扑学研究物体在移动、弯曲、拉伸或扭曲时所保持的特性,而不需要切割或粘合零件。例如,一对纠结的耳塞在拓扑意义上与一对未纠结的耳塞相同,因为将其中一对转换为另一对只需要移动、弯曲和扭曲。它们之间不需要进行切割或粘合。

另一对拓扑结构相同的对象是咖啡杯和甜甜圈。因为两个物体只有一个孔,一个可以通过拉伸和弯曲变形成另一个。

杯子变形成一个甜甜圈。(Wikimedia Commons)

对象中的孔数是一个只能通过剪切或粘合来更改的属性。这个属性被称为对象的“属”,允许我们说,一对耳塞和一个甜甜圈在拓扑上是不同的,因为甜甜圈只有一个洞,而一对耳塞没有洞。

不幸的是,一个Móbius条和一个双面环,就像一个典型的硅胶感知腕带,似乎都有一个洞,因此,这个性质不足以将它们区分开来——至少从拓扑学家的观点来看是这样的。

取而代之的是,区分Móbius条带和双面环的性质叫做定向性。像它的洞的数量一样,一个物体的方向性只能通过切割或粘合来改变。

想象你在一个透明的表面上写一个便条,然后在这个表面上走走。当你走完路回来时,如果你总是能读到纸条的话,表面是可定向的。在一个不可定向的表面上,你走完路回来,可能会发现你写的词显然变成了它们的镜像,只能从右向左阅读。在双面循环中,无论您走到哪里,音符都会从左向右读。

,因为Móbius条是不可定向的,而e双面环是可定向的,这意味着Móbius条和双面环在拓扑上是不同的。

当GIF开始时,顺时针列出的点是黑色、蓝色和红色。不过,我们可以将三个点的配置绕着莫比斯带移动,使图形处于相同的位置,但顺时针列出的点的颜色现在是红色、蓝色和黑色。不知怎么的,这个结构已经变形成了它自己的镜像,但我们所做的只是在表面上移动它。在像双面环这样的可定向曲面上,这种变换是不可能的。(大卫·冈德曼创作)

的可定向性概念具有重要意义。以对映体为例。这些化合物具有相同的化学结构,除了一个关键的区别:它们是彼此的镜像。例如,化学物质L-甲基 ... 是维克蒸汽吸入器的一种成分。它的镜像,D-甲基 ... ,是一种a级非法药物。如果我们生活在一个不可定向的世界里,这些化学物质将无法区分。

奥古斯特·莫比乌斯的发现为研究自然世界开辟了新的途径。拓扑学的研究继续产生惊人的结果。例如,去年,拓扑学使科学家们发现了奇怪的新物质状态。今年的菲尔兹奖是数学界的最高荣誉,颁给了帮助将拓扑学与数论等其他领域相结合的数学家阿克谢·文卡泰什(Akshay Venkatesh),科罗拉多大学应用数学博士生大卫·冈德曼(David Gunderman)和校长医学、文科教授理查德·冈德曼(Richard Gunderman)慈善事业,印第安纳大学

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    1858年,当莫比乌斯在美国国立大学担任天文学和高等力学系主任时,发现了单面条莱比锡。)在研究多面体的几何理论时,莫比乌斯似乎遇到了莫比乌斯带,多面体是由顶点组成的立体图形,边缘和平面。莫比乌斯地带有不止一个令人惊讶的特性。奥古斯特·莫比乌斯的发现为研究自然世界开辟了新的途径。例如,去年,拓扑学使科学家们发现了奇怪的新物质状态。

  2. 德国数学家和天文学家莫比乌斯出生

    1790年11月17日,德国数学家和天文学家莫比乌斯出生。莫比乌斯最著名的成就是发现了三维欧几里德空间中的一种奇特的二维单面环状结构——后人称为莫比乌斯带。网络配图>其他重要的成就包括在射影几何中引进齐次坐标系、莫比乌斯变换,数论中的莫比乌斯变换、莫比乌斯函数、莫比乌斯反演公式等等。>莫比乌斯环是他的另一个闻名数学界的发现,不过利斯廷和他同时独立的发现了相同的结构。

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